时域微分定理,三大微分定理

三大微分定理,三大微分定理,以下是小编整理的详细信息 01罗尔定理在学习罗尔定理之前,先引进一个极值的定义:设函数f(x)在 X

三大微分定理,以下是小编整理的详细信息

01罗尔定理

在学习罗尔定理之前,先引进一个极值的定义:设函数f(x)在 X的某邻域U(X,$)内有定义,若对此邻域内的任何点x,都有f(x)≤f(X)或f(x)≥f(X)则称函数f(x)在X取得极大值或极小值f(X),且称X是函数的极大值点或极小值点。

罗尔定理:若函数f满足如下条件:

(1)f在闭区间[a,b]上连续

(2)f在开区间(a,b)内可导

(3)f(a)=f(b)

则在(a,b)上至少存在一点$,使得f′($)=0

例题:例1、设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明至少存在一点&∈(0,1),使f(&amp)+&ampf′(&amp)=0.

证:设辅助函数F(x)=xf(x),显然

F(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件

故至少存在一点&amp∈(0,1),使F′(&)=f(&)+&ampf(&amp)=0

02拉格朗日中值定理

在学习拉格朗日中值定理之前,先承上启下引进个费马引理:设函数f(x)在点X的某个邻域(X-&,X+&amp)内有定义,并且在X点可导,且f(x)≤(或≥)f(X),则f′(X)=0.

拉格朗日中值定理:若函数f满足如下条件:

(1)f在闭区间[a,b]上连续

(2)f在开区间(a,b)内可导

则在(a b)上至少存在一点&amp,使得f′(&amp)=f(b)-f(a)╱b-a.

例题:证明arctanb+ arctana≤b-a,其中a<b.

证:设f(x)=arctanx,则

f(b)-f(a)=f′(&amp)(b-a)=1/1+&amp (b-a),a<&amp<b

从而得arctanb - arctana = b-a

03柯西中值定理

现给出一个形式更一般的微分中值定理,柯西中值定理:设函数f和g满足

(1)在[a,b]上都连续

(2)在(a,b)上都可导

(3)f'(x)和g'(x丿不同时为零

(4)g(a)≠g(b)

则存在&amp∈(a,b),使得f'(&amp)/g'(&amp)=f(b)-f(a)/g(b)一g(a).

【微语】你要知道,当你温柔起来,当你开始珍爱,当你用心疼一个人。那种温暖,有多强大,有多难忘。

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